Formule-Utili

Trigonometriche

Angoli Notevoli

Simmetrie , archi complementari e supplementari

• $\sin (-x)=-\sin (x)$
• $\sin \left(\frac{\pi }{2}\pm x\right)=\cos (x)$
• $\sin (\pi \pm x)=\mp \sin (x)$
• $\cos (-x)=\cos (x)$
• $\cos \left(\frac{\pi }{2}\pm x\right)=\mp \sin (x)$
• $\cos (\pi \pm x)=-\cos (x)$
• $\tan (-x)=-\tan (x)$
• $\tan \left(\frac{\pi }{2}\pm x\right)=\mp \cot (x)=\mp \frac{\cos (x)}{\sin (x)}=\mp \frac{1}{\tan (x)}$
• $\tan (\pi \pm x)=\pm \tan (x)$

Addizione

• $\sin (x\pm y)=\sin (x)\cos (y)\pm \cos (x)\sin (y)$
• $\cos (x\pm y)=\cos (x)\cos (y)\mp \sin (x)\sin (y)$
• $\tan (x\pm y)=\frac{\tan (x)\pm \tan (y)}{1\mp \tan (x)\tan (y)}$

Duplicazione

• ${\sin }^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos (2x))$
• ${\cos }^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos (2x))$
• $\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1$
• $\cos (2x)=1-2{\sin }^2(x)$
• $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)⟺\sin (x)\cos (x)=\frac{1}{2}\sin (2x)$
• $\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$

Bisezione

• $\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$
• $\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$
• $\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}$

Strategie per valutare integrali

Four-Step strategy

1. ={yellow}semplificare la funzione integranda= se possibile ( usando passaggi algebrici o identità trigonometriche )
2. ={yellow}trovare delle sostituzioni ovvie= , cerchiamo quindi una funzione $t=g(x)$ tale che la $dt=g^{\prime }(x)$ e quest’ultima compare nella funzione integranda e possiamo sostituirla con $dt$
3. ={yellow}classificare la forma della funzione integranda= :
   • ={blue}funzioni trigonometriche= : se $f(x)$ è un prodotto di potenze di $\sin (x),\cos (x),\tan (x),\frac{1}{\cos (x)}$ allora possiamo usare le sostituzioni viste in basso.
   • ={blue}funzioni razionali= : facile usiamo la tecnica di integrazione per le funzioni razionali con i fattori semplici etc..
   • ={blue}integrazione per parti= : se $f(x)$ risulta un prodotto di $x$ (o polinomio) e una funzione trigonometrica ,esponenziale o logaritmica ⇒ usiamo l’integrazione per parti.
   • ={blue}radicali= : alcune sostituzioni sono vantaggiose per alcuni tipi di radicali :
     • per $\sqrt{\pm x^2\pm a^2}$ usiamo sostituzioni trigonometriche per funzioni irrazionali
     • per $\sqrt[n]{ax+b}$ usiamo la sostituzione da irrazionale a razionale.
4. ={yellow}try again= , se i primi 3 step non hanno portato ancora , ricorda che ci sono solo 2 metodi per integrare : sostituzione e per parti.
   • ={pink}prova sostituzione= ( anche se non sono ovvie e possono essere di ispirazione o disperazione )
   • ={pink}prova per parti= , infatti anche se di solito vengono usate tra prodotti di funzioni , possono essere utilizzate per funzioni singole ( esempio per $\ln (x)$)
   • ={pink}manipolazioni algebriche= , forse razionalizzando il denominatore o identità trigonometriche.
   • ={pink}ricorda integrali già fatti=
   • ={pink}usa più metodi=

• Una prima sostituzione utile è la seguente : $t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)⟹x=2\arctan (t)⟹dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ → Infatti se $t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$ valgono le seguenti identità trigonometriche : $\{\begin{array}{l}\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}\end{array}$

Valutare ={red}$\int {\sin }^{\mathbf{m}}(\mathbf{x}){\cos }^{\mathbf{n}}(\mathbf{x})\mathbf{dx}$=

• Se $n=2k+1$ ( potenza di $\cos (x)$ , dispari ) ⇒ dobbiamo “salvare” un fattore $\cos (x)$ e usare per il resto ${\cos }^2(x)=1-{\sin }^2(x)$ per valutare il resto in termini di $\sin (x)$ : $\begin{array}{r}\int {\sin }^m(x){\cos }^{2k+1}(x)dx=\int {\sin }^m(x)({\cos }^2(x){)}^k\cos (x)dx=\\ \int {\sin }^m(x)(1-{\sin }^2(x){)}^k\cos (x)dx\end{array}$

poi sostituiamo con $t=\sin (x)$.

• Se $m=2k+1$ allora facciamo la stessa cosa ma con $\sin (x)$ : $\begin{array}{r}\int {\sin }^{2k+1}(x){\cos }^n(x)dx=\int ({\sin }^2(x){)}^k\sin (x){\cos }^n(x)dx\\ \int (1-{\cos }^2(x){)}^k\sin (x){\cos }^n(x)dx\end{array}$

poi sostituiamo con $t=\cos (x)$

• Se $n,m$ sono pari ⇒ usiamo le formule di duplicazione : $\begin{array}{r}{\cos }^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos (2x))\text{e}{\sin }^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos (2x))\end{array}$

in alcuni a casi anche questa può essere utile → $\sin (x)\cos (x)=\frac{1}{2}\sin (2x)$

Valutare ={red}$\int \sin (\mathbf{mx})\cos (\mathbf{nx})\mathbf{dx}$= o ={red}$\int \sin (\mathbf{mx})\sin (\mathbf{nx})\mathbf{dx}$= o ={red}$\int \cos (\mathbf{mx})\cos (\mathbf{nx})\mathbf{dx}$=:

Usiamo le seguenti identità :

• $\sin (a)\cos (b)=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$
• $\sin (a)\sin (b)=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$
• $\cos (a)\cos (b)=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$

Tabella sostituzioni funzioni irrazionali

={red}→= per $\sqrt{a^2-x^2}$ :

• sostituiamo $x=a\sin (t)$ con $t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
• usiamo $1-{\sin }^2(t)={\cos }^2(t)$

={red}→= per $\sqrt{a^2+x^2}$ :

• sostituiamo $x=a\tan (t)$ con $t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
• usiamo $1+{\tan }^2(t)={\sec }^2(t)=\frac{1}{{\cos }^2(t)}$

={red}→= per $\sqrt{x^2-a^2}$ :

• sostituiamo $x=a\sec (t)$ con $t\in [0,\frac{\pi }{2})$ o $t\in [\pi ,\frac{3\pi }{2})$
• usiamo ${\sec }^2(t)-1={\tan }^2(t)$

Sostituzione da irrazionale a razionale

Alcune funzioni irrazionali possono essere portate alla forma razionale, in particolare quando la funzione ha una forma $\sqrt[n]{g(x)}$ allora la sostituzione $t=\sqrt[n]{g(x)}$ viene molto utile.

Derivate elementari

• $x^{\alpha }\Rightarrow \alpha x^{\alpha -1}$
• ${\log }_a|x|\Rightarrow \frac{1}{x\ln a}$
• $e^x\Rightarrow e^x$
• $a^x\Rightarrow a^x\ln a$
• $\sin (x)\Rightarrow \cos (x)$
• $\cos (x)\Rightarrow -\sin (x)$
• $\tan (x)\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$
• $\arcsin (x)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\arccos (x)\Rightarrow \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\arctan (x)\Rightarrow \frac{1}{1+x^2}$

Sviluppi Mc Laurin elementari

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$

• $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$

• $\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

• $\cos (x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{2})x^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n$

• dove $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dots (\alpha -n+1)}{n!}$

• $$(1+x{)}^{-1}=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n$$

• $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{(2n-3)!!x^n}{(2n)!!}$

• $\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5x^3}{81}+\dots$

• dove $k!!=k(k-2)(k-4)\cdots 2$

• $\tan (x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}{x}^5+o(x^6)$

• $\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

• $$\arcsin (x)=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3}{15}{x}^5+o(x^5)$$

Primitive elementari

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\iff \alpha \ne -1$
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|$
• $\int e^{x}dx=e^x$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln (a)}\iff a>0\wedge a\ne 1$
• $\int \sin (x)dx=-\cos (x)$
• $\int \cos (x)dx=\sin (x)$
• $\int \tan (x)dx=-\ln |\cos (x)|$
• $\int \frac{1}{{\cos }^2(x)}dx=\int (1+{\tan }^2(x))dx=\tan (x)$
• $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan (x)$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin (x)$

Convergenza integrali fondamentali

Sia $c>0$

$${\int }_c^{\infty }\frac{1}{x^{\alpha }}=\{\begin{array}{l}\text{converge}⟺\alpha >1\\ \text{diverge}⟺\alpha \le 1\end{array}$$ $${\int }_0^c\frac{1}{x^{\alpha }}=\{\begin{array}{l}\text{converge}⟺\alpha <1\\ \text{diverge}⟺\alpha \ge 1\end{array}$$ $${\int }_{x_0}^{x_0+1}\frac{1}{(x-x_0{)}^{\alpha }}=\{\begin{array}{l}\text{converge}⟺\alpha <1\\ \text{diverge}⟺\alpha \ge 1\end{array}$$ $${\int }_{x_0-1}^{x_0}\frac{1}{(x_0-x{)}^{\alpha }}=\{\begin{array}{l}\text{converge}⟺\alpha <1\\ \\ \text{diverge}⟺\alpha \ge 1\end{array}$$

Consideriamo $f(x)=\frac{1}{x^{\alpha }|\ln (x){|}^{\beta }}$ continua in $(0,1)\cup (1,+\infty )$ :

• Sia $0<c<1$ ( zona $(0,c)$ e $(c,1)$ ) : $${\int }_0^c\frac{1}{x^{\alpha }|\ln (x){|}^{\beta }}=\text{converge}⟺\{\begin{array}{l}\alpha <1\wedge \forall \beta \in \mathbb{R}\\ \text{oppure}\\ \alpha =1\wedge \beta >1\end{array}$$

$${\int }_c^1\frac{1}{x|\ln (x){|}^{\beta }}\sim \frac{1}{|\ln (x){|}^{\beta }}=\text{converge}⟺\beta <1$$

• Sia $c>1$ ( zona $(1,c)\text{e}(c,+\infty )$ ) : $${\int }_1^c\frac{1}{x|\ln (x){|}^{\beta }}\sim \frac{1}{|\ln (x){|}^{\beta }}=\text{converge}⟺\beta <1$$ $${\int }_c^{+\infty }\frac{1}{x^{\alpha }|\ln (x){|}^{\beta }}=\text{converge}⟺\{\begin{array}{l}\alpha >1\wedge \forall \beta \in \mathbb{R}\\ \text{oppure}\\ \alpha =1\wedge \beta >1\end{array}$$

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{\alpha x}=\text{converge}⟺\alpha <0$$

Convergenza serie fondamentali

Serie geometrica

$$\sum _{k=0}^{\infty }{x}^k=\{\begin{array}{l}\frac{1}{1-x}⟺-1<x<1\\ +\infty ⟺x\ge 1\\ \nexists ⟺x\le -1\end{array}$$

Serie armonica

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{\alpha }}=\text{converge}⟺\alpha >1$$ $$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k^{\alpha }{\ln }^{\beta }(k)}=\text{converge}⟺\{\begin{array}{l}\alpha >1\\ \text{oppure}\\ \alpha =1\wedge \beta >1\end{array}$$

Serie telescopica

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$ $$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k(k-1)}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)=1$$

Inoltre , sia $a_k$ una successione in $\mathbb{R}$ :

$$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k-a_{k+1}=a_0-\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k$$