Numeri e codifiche

Ci sono soltanto $10$ tipi di persone al mondo : quelli che conoscono la codifica binaria e quelli che non la conoscono

Leggendo questa frase forse si può pensare che non abbia senso , ma riflettendo un po’ , si capisce. Infatti , i numeri possiamo rappresentarli in maniera diversa. Scelta una base $b\in \mathbb{N}$ con $b\ge 2$ e un inseme $B$ con $b$ simboli rappresentati come $x_i$ , quindi avremo che la rappresentazione di un numero è seguita dalla seguente formula :

$$x_{k-1}{b}^{k-1}+x_{k-2}{b}^{k-2}+\cdots +x_{1}b+x_0[1]$$

Example

I numeri in base $10$ ( quindi $b=10$ ) sono infatti costituiti dai simboli $B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Infatti il numero $345$ costituito da $x_2=3,x_1=4,x_0=5$ che applicando la formula abbiamo con $k=3$ ( il numero di cifre ) :

$$x_{2}10^2+x_{1}10^1+x_{0}10^0=300+40+5=345$$

Per comodità scriveremo $(x_{k-1}{x}_{k-2}\dots x_1{x}_0{)}_b$ per indicare la $[1]$ . La codifica favorita dai computer è quella binaria.

Traduzione da binario a 10

Come possiamo tradurre una sequenza di $0$ e $1$ in un numero in base $10$ ( in modo per noi umani di capire di che numero si tratta ). Bisogna usare la formula $[1]$ , infatti per $(10110{)}_2=(?{)}_{10}$ , avremo che :

$$\begin{array}{r}(10110{)}_2=1\ast 2^4+0\ast 2^3+1\ast 2^2+1\ast 2+0=\\ =2^4+2^2+2=(22{)}_{10}\end{array}$$

Traduzione da 10 a binario

Per tradurre da base $10$ si divide sempre per $2$ e poi si scrive il resto della divisione $0$ ( se pari ) o $1$ ( se dispari ) , infatti per $(234{)}_{10}=(?{)}_2$ avremo che :

$$\begin{array}{rc}234& 0\to x_0\\ 117& 1\to x_1\\ 58& 0\to x_2\\ 29& 1\to x_3\\ 14& 0\to x_4\\ 7& 1\to x_5\\ 3& 1\to x_6\\ 1& 1\to x_7\end{array}$$

quindi $(234{)}_{10}=(11101010{)}_2$ .

Codifica in complemento a due

Fissato il di $k$ bit a disposizione , nella codifica a complemento a due la sequenza di bit $x_{k-1}{x}_{k-2}\dots x_1{x}_0$ rappresenta :

$$-x_{k-1}{2}^{k-1}+x_{k-2}{2}^{k-2}+\cdots +x_{1}2+x_0[2]$$

dove è importante $-x_{k-1}{2}^{k-1}$ . Inoltre per rappresentare questa codifica useremo $(\dots {)}_{\overline{2}}$ .

Notiamo inoltre che fissati $k$ bit possiamo rappresentare il seguente insieme di numeri :

$$\{-2^{k-1},\dots ,0,1,\dots ,2^{k-1}-1\}$$

Example

infatti con $4$ bit possiamo rappresentare :

$$\{-8,-7,-6,-5,\dots ,0,1,2,3,4,5,\dots ,7\}$$

La procedura per scrivere un numero negativo decimale in complemento a due e la seguente :

1. prendo il valore assoluto del numero
2. inverto tutti i bit
3. aggiungo $1$

Example

Per $(-5{)}_{10}=(?{)}_{\overline{2}}$ , utilizziamo la $[2]$ , quindi avremo che :

• prendo $|-5|=5=(0101{)}_2$
• inverto e ottengo $(1010{)}_2$
• aggiungo $1$ e ottengo $(1011{)}_2$ quindi $(-5{)}_{10}=(1011{)}_{\overline{2}}$

Somma tra due numeri in $\overline{2}$

Per fare la somma tra due numeri in complementi a due , bisogna sempre “ignorare” il bit che si aggiunge alla fine in più , che sarebbe di overflow.

Supponiamo di voler fare $(7-5{)}_{10}=(2{)}_{10}$ in complemento a due , quindi siccome $(7{)}_{10}=(0111{)}_{\overline{2}},(-5{)}_{10}=(1011{)}_{\overline{2}}$ , otteniamo che :

$$\begin{array}{r}0111+\\ 1011=\\ 0010\end{array}$$

ovvero proprio $(2{)}_{10}$