Richiami_algebra

Lo spazio di lavoro è $R^{n}$ dove scriveremo i vettori di questo spazio come :

x = x_{1} . . x_{n} x \in R^{n} x_{i} \in R

questo era un vettore secondo una colonna, mentre se vogliamo secondo una riga :

x^{T} = (x_{1} \dots x_{n})

Dato $α \in R$ allora :

αx = α x_{1} . . α x_{n}

Siano $x, y \in R^{n}$ allora :

x y = x^{T} y = (x_{1} \dots x_{n}) y_{1} . . y_{n} = i = 1 \sum n x_{i} y_{i}

Indipendenza lineare

Se abbiamo $m$ vettori $x_{1} \in R^{n}, x_{2} \in R^{n}, \dots, x_{m} \in R^{n}$ , essi si dicono linearmente indipendenti se non esistono scalari $α_{1}, \dots, α_{m}$ NON TUTTI NULLI, tale che :

i = 1 \sum m α_{i} x_{i} = 0

Matrici

Si scrivono in questo modo :

A = a_{11} . . a_{m 1} a_{12} . . a_{m 2} \dots \dots a_{1 n} . . a_{mn}

matrice $m \times n$ e quindi $A \in R^{m \times n}$ . Inoltre per rappresentare gli elementi di questa matrice :

[A]_{ij} = a_{ij}

La trasposta di una matrice :

A^{T} = a_{11} . . a_{1 n} a_{12} . . a_{2 n} \dots \dots a_{m 1} . . a_{nm}

Possiamo scrivere anche in questo modo (comodo) :

A = (a_{1} \dots a_{n}) a_{i} \in R^{m}

dove $a_{i}$ sono dei vettori che rappresentano le colonne. Oppure posso scrivere :

A^{T} = a_{1}^{T} . . a_{n}^{T}

se $m = n$ la matrice si dice QUADRATA
si dice SIMMETRICA :
- $m = n$
- $A = A^{T}$

Operazioni sulle matrici

Sia $α \in R$ :

[α A]_{ij} = α a_{ij}

con $i = 1, 2, \dots m$ e $j = 1, 2, \dots, n$ .

Siano $A, B \in R^{m \times n}$ :

[A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

con $i = 1, 2, \dots m$ e $j = 1, 2, \dots, n$ .

Siano $A \in R^{m \times p}$ e $B \in R^{p \times n}$ :

D = A B [D]_{ij} = h = 1 \sum p a_{ih} b_{hj}

0n1zuka

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